Contenu du Sujet 20557

Auteur : Fyne
Date : 01 déc.08, 10:48
Message : voila j'ai un probléme avec l'infini : je l'aime pas la couleur de son pull ! non plus sérieusement cette petite bête n'arrête pas de créer des incohérence qui insupporte :

voir le paradoxe de la toute puissance que j'ai que trop répéter ces dernier temps et celui qui suit :

soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule

10x = 9.9999 avec une infinité de 9

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

donc 0.9999 = 1 !

je vous laisse y réfléchir ^^

Auteur : Macgregor
Date : 01 déc.08, 11:50
Message : Je pense qu'il y a un problème dans l'étape
10x = 9+x
Vu que le nombre que t'utilises n'est pas infini mais fini...

C'est un peu comme si tu prends 0.33333333..., tu le multiplies pas 3 tu arrives à 0.9999999999999... mais ce nombre si on prend sa version fractionnaire, 1/3 (celui-ci est bien complet), on le multiplie par 3 et on atteint 1.

C'est une histoire d'opération, je ne suis pas expert en math même si j'en ai fait pas mal...

Auteur : Azrael
Date : 01 déc.08, 12:34
Message : Il n'y a pas d'erreur de raisonnement.

En mathématique, "0,999..." est bien rigoureusement égal à "1".

C'est marrant mais c'est comme ça.

Auteur : ximatt
Date : 01 déc.08, 12:52
Message : Il n'y a pas de contradiction : on a bien 0.99999.... = 1

demonstration (ce que tu as ecrit en est deja une, je le fais avec une methode differente)
disons a = 0.9999999....
soit d = 1-a.
La question devient alors "d=0" ou "d>0" ?
on a alors :
..d est un réel positif ou nul (pas de probleme sur son existence)
..Tout nombre strictement positif, aussi petit soit-il, est supérieur à d.
exemple : 0.0000001 est-il supérieur à d ? oui car :
a + 0.000001 = 1.000000099999 > 1.
..l'ensemble des réels possède la propriété dite de "densité dans lui-même" : entre 2 nombres réels distincts quelconques on peut trouver un 3e nombre réel. Ici on a démontré qu'on ne pouvait pas trouver de nombre entre 0 et d : c'est donc qu'ils ne sont pas distincts.

en plus court
(1) d>= 0
(2) pour tout e>0 ; d<e
alors d = 0

c'est à dire 0.9999.... = 1

@macgregor : ce n'est pas le nombre qui est infini mais l'expression qui en est donnée.

Auteur : Anonymous
Date : 01 déc.08, 13:28
Message : C'est absolument vrai, ta démonstration est exacte.

Voilà un forum de science qui explique ce phénomène mathématique souvent posé http://forums.futura-sciences.com/mathe ... iques.html

regarde la 2e réponse sur le sujet.

Auteur : Macgregor
Date : 02 déc.08, 07:36
Message : Ok ça marche comme ça, intéressant.

Donc vu la non-distinction des deux nombres ils sont identiques. (je ne connaissais pas cette propriété, j'ai fait pas mal de math durant ma formation mais c'était plutôt orienté calcul différentiel)

C'est quand même chouette les math...

Auteur : Jonathan L
Date : 02 déc.08, 08:01
Message :

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

Y'a une erreur grave juste là.

10x=9+x n'égalera jamais 9x=9

Ensuite 0,9999999 n'est pas 1.

En math 4 chiffre après la virgule est considéré comme exact.

Et lorsque l'on fait des maths d'un peu plus haut niveau, 0,9999 ne sera jamais compté comme 1, mais comme 0,9999.

donc 10x = 9,9999
et 9x 8,9991
Même en arrondissant les réponses, vraiment gorssièrement, on arrive a 10 et 9. Mais si on les arrondis comme il se doit, en se servant juste du dernier chiffre, on arrive plutôt a 10 et 8,9990

Auteur : Fyne
Date : 02 déc.08, 08:07
Message :

10x=9+x n'égalera jamais 9x=9

euh si , 10x = 9 + x
10x - x = 9
9x=9.....

Ensuite 0,9999999 n'est pas 1.

justement on parle d'un chiffre avec une infinité de 9 après la virgule ...

ce qui me pose probléme ce n'est pas tant l'égalité en elle même ni la démonstration mathématique mais le faite que l'infini , a chaque fois qu'on l'applique a quelque chose tente a créer un paradoxe....

Auteur : Ryuujin
Date : 02 déc.08, 10:33
Message : la démonstration est fausse : 0.99999... avec un infinité de 9 après la virgule, c'est x quand x tend vers 1, et ça n'est pas égal à 1 : c'est égal à 1-epsilon avec epsilon qui tend vers 0.

Toute la nuance est dans le "qui tend vers".

soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule
10x = 9.9999 avec une infinité de 9

jusque là, c'est bon.

donc 10x = 9+x

stop ! c'est faux !!
10x = 9.9999 n'est pas équivalent à 10x = 9+x, car rien ne dit qu'il y a autant de 9 après la virgule de 9.9999 qu'après celle de 0.99999

Une infinité de 9 moins une infinité de 9, ça ne fait pas zéro ! c'est une opération impossible !
On ne peut pas soustraire des quantités infinies.

Auteur : ximatt
Date : 02 déc.08, 13:21
Message :

Ryuujin a écrit :la démonstration est fausse : 0.99999... avec un infinité de 9 après la virgule, c'est x quand x tend vers 1, et ça n'est pas égal à 1 : c'est égal à 1-epsilon avec epsilon qui tend vers 0.
Toute la nuance est dans le "qui tend vers".

La demonstration est juste. Ton argumentation serait correcte si effectivement l'objet etait une fonction qui "tendait" vers un. Mais là rient ne "tend" : on s'interesse à un nombre fixe.
Il est evidemment possible de remplacer le probleme par une fonction : f(n) = f(n-1)+9/10^n. et là tout depndrait de où on s'arrete, ou si on passe à la limite. mais là il s'agit bien d'un nombre fixe, et d'un developpement decimal particulier de ce nombre.

le epsilon dont tu parles ne tend donc pas vers 0. Il est fixe aussi (ma demo à moi est de montre avec des methodes plus academiques qu il vaut 0)

Ryuujin a écrit : stop ! c'est faux !!
10x = 9.9999 n'est pas équivalent à 10x = 9+x, car rien ne dit qu'il y a autant de 9 après la virgule de 9.9999 qu'après celle de 0.99999

Le résultat est juste, mais il est vrai que ca se serait pas recevable niveau rigueur. On sait combien il y a de 9, aleph0 des deux cotés, c'est encore une confusion nombre/expression : on sait combien il y en a, ce qui n'est pas la meme chose que de savoir combien on en met quand on veut representer le resultat.
Si on fait la difference on pourrait avoir au choix :
9.999...-9x = 0.0000....
9.999...-9x = 0.0000..."+un 9 infiniment loin"
9.999...-9x = 0.0000..."+un 9999 infiniment loin",
ce qui ne change pas la valeur du resultat, 0.

Ryuujin a écrit :On ne peut pas soustraire des quantités infinies.

C'est en effet rarement possible (il faut aller chercher des trucs du genre aleph1-aleph0=aleph1 mais bon c est pas le sujet)
Mais là encore une fois il s'agit d'une quantité tout ce qu'il y a de plus finie. C'est l'expression qui en est donnée qui est infinie.

Auteur : Ryuujin
Date : 02 déc.08, 15:54
Message : mea culpa ; en fait c'est la limite de la série géométrique de premier terme 0,9 et de raison 1/10, là ça me parle plus.

La soustraction de deux nombres non-fixés me dérange dans cette formulation de la démonstration ; je préfère vraiment passer par une limite en l'infini.

Auteur : sambion
Date : 03 déc.08, 00:33
Message : Je crois que pour les situations ou on trouve l'infini, on utilise les limites ( limite de x qui tend vers un nombre ou vers l'infini.

Pour le paradoxe:
soit un nombre x = 0.9999... avec une infinité de 9 après la virgule

10x = 9.9999 avec une infinité de 9

donc 10x = 9+x ; donc 9x=9 ....et x = 1 !

donc 0.9999 = 1 !

Le problème ici, c'est que pour se permettre à ecrire 0.99999... on doit fixer un nombre de 9, par exemple 100;
Le 10x = 9.99999... mais avec 99, et non 100. donc il n y a pas autant de 9 après la virgule pour le x et le 10x.
Si on se fixe un nombre de 9 dans 0.9999.... alors on doit le garder pour 10x, car l'infini =! l'infini + x, parceque l'infini + x n'existe pas, seul l'infini qui existe. c'est pour ça qu'on utilise les limites et c'est pour eviter des contradiction du même genre:
l'infini/l'infini (=0? ; =x? ; =l'infini?)
+l'infini + (-)l'infini (=0? ; =x? ; =(+/-)l'infini?)
1/(+/-)l'infini (=0? ; >0? ou inferieur à 0?)

Pour echaper à ça, on utilise les limites.
et donc lim(x-->1)10x=lim(x-->1)9+x

Auteur : ximatt
Date : 03 déc.08, 01:55
Message : Je l'ai deja expliqué, utiliser les limites sur des nombres ne sert à rien : un nombre est sa propre limite. ta limite est suivant quel variable ? le nombre de 9 apres la virgule ? ca n'a pas de sens pour le nombre, où on a dit clairement qu il y a une infinité de 9. ca peut servir avec une fonction approchant le nombre.
et on ne peut pas effectuer d'operations faciles avec l'infini "8 couché", mais avec aleph0 c'est deja plus possible. "8 couché" est une limite réelle, aleph0 est un cardinal.

Auteur : sambion
Date : 03 déc.08, 02:45
Message :

ximatt a écrit :Je l'ai deja expliqué, utiliser les limites sur des nombres ne sert à rien : un nombre est sa propre limite. ta limite est suivant quel variable ? le nombre de 9 apres la virgule ? ca n'a pas de sens pour le nombre, où on a dit clairement qu il y a une infinité de 9. ca peut servir avec une fonction approchant le nombre.
et on ne peut pas effectuer d'operations faciles avec l'infini "8 couché", mais avec aleph0 c'est deja plus possible. "8 couché" est une limite réelle, aleph0 est un cardinal.

Les limites sont la seule solution, parcequ'on manipule avec l'infini:
infini + 1 = l'infini ? ou l'infini + 1 > l'infini?
Les deux sont faux, parcequ'il n'existe rien après l'infini, et donc le nombre de 9 après la virgule de 10x sera moins par un que celui de x, car il n'existe qu'un seul infini,

Auteur : ximatt
Date : 03 déc.08, 05:06
Message :

sambion a écrit :Les limites sont la seule solution, parcequ'on manipule avec l'infini:

C'est vrai pour les réels, pas pour les cardinaux (cf les travaux de Cantor). Et ce n'est pas le problème vu qu'ici le nombre est fini !

sambion a écrit :infini + 1 = l'infini ? ou l'infini + 1 > l'infini?

pour l'infini "8 couché", ces opérations sont effectivement interdites. Mais pour les transfinis de Cantor c'est possible (aleph0+1=aleph0)

sambion a écrit :Les deux sont faux, parcequ'il n'existe rien après l'infini, et donc le nombre de 9 après la virgule de 10x sera moins par un que celui de x, car il n'existe qu'un seul infini,

A nouveau ce que tu declares peremptoirement n'est valable que pour l'infini des réels et pas les infinis des cardinaux. Et le "nombre de 9" appartient à la 2e categorie : pour faire simple, il est infini mais est homogene à un nombre entier. Et à nouveau on s'en fout vu que rien n'est infini ici à part la representation du nombre. pas le nombre (un nombre qui commence par "0,..." et qui est infini y a du souci à se faire)

Auteur : sambion
Date : 03 déc.08, 06:49
Message : qui a dit que x est infini, on parle bel est bien du nombre infini de 9 après la virgule. alors qu'on parlant de cet infini tu crois ça:
x=0,000000....001
une infinité de 0
10x=0,0000....001
une infinité de 0

donc 10x=x
voir 100000x=x
et mieux l'infini * x=x
c'est equivalent à l'infini/l'infini

ou on va dire que le nombre infini de 0 du premier est moins que celui du deuxième? il s'agit bel est bien de l'infini, rien n'est supposé plus grand que l'infini.

Je sais tres bien qu'on parle de nombre fini, mais l'opération se fait sur le nombre infini de "9", comment on ose donner une limite à cet infini, pour dire qu'il existe un autre qui est plus grand.
0,999999....infini....9 n'existe pas en maths, mais 0,11111....1 existe et ça s'ecrit comme ça 1/9.
et 0,11111...1 * 9 = 1, et non 0,9999......9
car 1/9 * 9= 1

donc le probleme existe dans la forme 0,9999...9 qui ne vient de nulpart comme le 0,000000......0001

Auteur : ximatt
Date : 03 déc.08, 09:33
Message : j ai deja repondu à tout ça, je vais pas me repeter j arrete là.

Auteur : Ryuujin
Date : 03 déc.08, 10:02
Message : Tu as tord Sambion : x est bien un nombre, et non pas une variable qui tend vers 1 : la démonstration n'utilisant pas les limites est tout à fait valable.

Auteur : ManMadeGod
Date : 03 déc.08, 10:14
Message : 0.9 périodique est STRICTEMENT égal à un et c'est comme ça.

allez j'en donne une autre démonstration pour la route ^^

0.999... = 0.333... + 0.333... + 0.333... = 3 * 0.333...

or 0.333... = 1/3

et 3 * 1/3 = 1

donc 0.999... = 1

Et ça marche avec pleins de périodiques! ça fait partie des réalités mathématiques que le néophyte trouvera paradoxales.

C'est comme: Un côté du carré contient autant de points que le carré tout entier.

Auteur : Macgregor
Date : 03 déc.08, 12:30
Message : On peut intuitivement se rendre compte qu'ils sont égaux de par cette propriété énoncée par ximatt

entre 2 nombres réels distincts quelconques on peut trouver un 3e nombre réel. Ici on a démontré qu'on ne pouvait pas trouver de nombre entre 0 et d : c'est donc qu'ils ne sont pas distincts.

Ce n'est pas une démonstration mais intuitivement tu sens que tu ne pourras pas intercaler de nombre si les 9 du nombre sont infinis.

Auteur : sambion
Date : 03 déc.08, 21:55
Message :

ximatt a écrit :j ai deja repondu à tout ça, je vais pas me repeter j arrete là.

Lorsque je dis lim(x-->1)10x = lim(x-->)9+x alors je parlais de x comme étant variable, et non du x = 0,9999999....

et je viens de lire ton poste ou tu explique qu'un reel b(=1-0,99999....) positif que quelque soit a de R+*, a>b, donne b=0, c'est juste, mais j'avoue qu'on n'a pas étudié ça en mathématiques, peut etre que ton niveau des maths n'est pas comme le mien, mais ce que je sais moi, c'est que 0,00000..0001 s'ecrit comme ça 1/l'infini. et c'est pas calculable avec des nombre, on utilise des fonctions pour determiner sa limite.

Si on se permet d'ecrire b=0,00000......0001, alors moi je te dis qu'il existe un autre qui est plus petit, c'est celuilà : c=b/10. pour te montrer qu'il n'existe pas un reel b positif que quelque soit x de R+*; x > b.
Pourquoi, parceque si tu te permet de dire que c'est pas une limite, mais un nombre, alors je vais te demander de multiplier par 1/10, pour trouver un plus petit.

J'avoue, vraiment on ne travaille pas avec ça 0,9999.... en maths, c'est comme ecrire 100000....00000, on peut calculer ça avec un nombre?
Je te dis qu'il est infini, et en même temps je me permet à lui donner une limite? si je me permet à l'ecrire sous pretexte de le manipuler avec des nombres, alors déja là je suis en contradiction, car je vais passer toute ma vie à ecrire des zéro.

pour manipuler l'infini, on l'utilise dans des fonctions, pour savoir à un moment donné, que represente x entre deux fonctions, par rapport a un nombre, ou par rapport à l'infini....

Auteur : ximatt
Date : 04 déc.08, 01:26
Message :

sambion a écrit :Lorsque je dis lim(x-->1)10x = lim(x-->)9+x alors je parlais de x comme étant variable, et non du x = 0,9999999....

on est d'accord alors pour ce point là. mais quel interet d'utiliser les limites ? si c'est pour dire lim(x->1) avec des operations simplement polynomiales (c'est pas si on avait du 1/1-x...) , il est equivalent de dire directement 10*1 = 9+1.

sambion a écrit : 0,00000..0001 s'ecrit comme ça 1/l'infini.

Les deux formulations reviennent au meme, mais passer de 'une à l'autre n'est pas du tout anodin :
0.000...0001 est un nombre fini, au developpement decimal infini
1/infini fait intervenir l'infini donc n'est pas un nombre et n'existe qu'au sens de limite. On ne peut donc pas dire "s'ecrit" mais plutot "par passage à la limite,..."

sambion a écrit :Si on se permet d'ecrire b=0,00000......0001, alors moi je te dis qu'il existe un autre qui est plus petit, c'est celuilà : c=b/10. pour te montrer qu'il n'existe pas un reel b positif que quelque soit x de R+*; x > b.
Pourquoi, parceque si tu te permet de dire que c'est pas une limite, mais un nombre, alors je vais te demander de multiplier par 1/10, pour trouver un plus petit.

tu oublies un detail : tu as montré qu'il existe un nombre plus petit que b...au sens large (c<=b). Il se trouve que c n'est pas plus petit que b au sens strict (c<b est faux) On ne pourrait deduire c<b que si on avait l'assurance que b etait non nul, ce qui se revele faux à la fin.

sambion a écrit :c'est comme ecrire 100000....00000, on peut calculer ça avec un nombre?

Non c est pas pareil, puisque là il s'agit d'infini, qui comme tu le dis n'est pas aussi manipulable.

sambion a écrit :pour manipuler l'infini, on l'utilise dans des fonctions, pour savoir à un moment donné, que represente x entre deux fonctions, par rapport a un nombre, ou par rapport à l'infini....

encore une fois, une representation infinie ne signifie pas l'infini. Il faut vraiment detacher la notion d'infini, qui est une question de grandeur ou de cardinalité, de la representation, qui n'est qu'un pur produit de nos notations.

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