Une devinette instructive.

[J'm'interroge]

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On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer complet contenant donc le même nombre de cartes rouges et noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?


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[Dr Jones]

Intéressant, cet énoncé original.

[J'm'interroge]

Intéressant, cet énoncé original.

Ça rajoute une subtilité.

Et ça évite de devoir préciser des choses comme : "l'on considère que la probabilité d'avoir un garçon est de 1/2" ou que "l'on exclut les hermaphrodites", etc.
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[Dr Jones]

Ça rajoute une subtilité.

Et ça évite de devoir préciser des choses comme : "l'on considère que la probabilité d'avoir un garçon est de 1/2" ou que "l'on exclut les hermaphrodites", etc.
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Je confirme.

[J'm'interroge]

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Ce problème est tout à fait surprenant, ne ne finis pas d'en apprendre !


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[J'm'interroge]

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Réponse :

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Essayez encore de trouver par vous-mêmes.

Essayez encore de trouver par vous-mêmes.

La probabilité que l'autre carte soit également noire est de 5/12 s'il l'on considère un jeu de cartes comportant un nombre infini de cartes rouges et noires en quantités égales.

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[ronronladouceur]

On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer complet contenant donc le même nombre de cartes rouges et noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?

Telle que formulée (sans avoir étudié les probabilités), je me demandais bien où pouvait être la difficulté.

Deux cartes tirées, dont une noire.

Il reste donc 51 cartes, sur ce nombre 25 cartes noires...

Donc 25/51 ≈ 49.02%

[J'm'interroge]

On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer complet contenant donc le même nombre de cartes rouges et noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?

Telle que formulée (sans avoir étudié les probabilités), je me demandais bien où pouvait être la difficulté.

Deux cartes tirées, dont une noire.

Il reste donc 51 cartes, sur ce nombre 25 cartes noires...

Donc 25/51 ≈ 49.02%

Ce n'est pas la réponse à ce problème. 25/51 c'est la probabilité que la deuxième carte tirée soit noire, si la première carte tirée et noire. Mais ça, on ne le sait pas. Dans le problème posé, les deux premières cartes sont tirées au hasard. On ne sait donc pas laquelle des deux est assurément noire. Ce qu'on sait, c'est qu'une fois les deux cartes tirées, après cela, l'on apprend qu'au moins une des deux cartes est noire. Et l'on ne dit pas comment cette information est obtenue.
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[ronronladouceur]

Ce n'est pas la réponse à ce problème. 25/51 c'est la probabilité que la deuxième carte tirée soit noire, si la première carte tirée et noire. Mais ça, on ne le sait pas. Dans le problème posé, les deux premières cartes sont tirées au hasard. On ne sait donc pas laquelle des deux est assurément noire. Ce qu'on sait, c'est qu'une fois les deux cartes tirées, après cela, l'on apprend qu'au moins une des deux cartes est noire. Et l'on ne dit pas comment cette information est obtenue..

C'était pourtant bien écrit : ''On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer complet contenant donc le même nombre de cartes rouges et noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?''

Ou alors le problème est mal formulé...

[J'm'interroge]

Ce n'est pas la réponse à ce problème. 25/51 c'est la probabilité que la deuxième carte tirée soit noire, si la première carte tirée et noire. Mais ça, on ne le sait pas. Dans le problème posé, les deux premières cartes sont tirées au hasard. On ne sait donc pas laquelle des deux est assurément noire. Ce qu'on sait, c'est qu'une fois les deux cartes tirées, après cela, l'on apprend qu'au moins une des deux cartes est noire. Et l'on ne dit pas comment cette information est obtenue.

C'était pourtant bien écrit : ''On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer complet contenant donc le même nombre de cartes rouges et noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?''

Ou alors le problème est mal formulé...

Il est bien formulé tu lis mal.
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[ronronladouceur]

Il est bien formulé tu lis mal..

Vous avez la mauvaise habitude de modifier l'énoncé de départ...

[Pollux]

Deux cartes tirées, dont une noire.

Ce n'est pas ce qui est écrit dans l'énoncé. Il y a une nuance qui t'a échappé.

Relis comme il faut et tu vas comprendre.

On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire.

[ronronladouceur]

Ce n'est pas ce qui est écrit dans l'énoncé. Il y a une nuance qui t'a échappé.

Relis comme il faut et tu vas comprendre.

C'est le 'au moins' qui changerait quelque chose? Alors fais-moi une photo des cartes sur une table avec au moins une carte noire retournée (c'est assez bizarre cette formulation 'au moins' )... Mais alors comment se présente le reste des cartes?

Que faut-il en comprendre? Que le côté mathématique n'a rien à voir ici avec la réalité tangible?

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Vérifié... Bon, ça dépend de quelle IA on consulte... Même formulation...

Et voilà le résultat (DeepSeek) :

[J'm'interroge]

Il est bien formulé tu lis mal.

Ce calcul est juste, mais il ne répond pas à la question.

Vous avez la mauvaise habitude de modifier l'énoncé de départ...

Je n'ai rien modifié. Mais je peux proposer un énoncé modifié pour simplifier le problème.

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Deux cartes tirées, dont une noire.

Ce n'est pas ce qui est écrit dans l'énoncé. Relis comme il faut et tu vas comprendre.

On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire.

Tout à fait Pollux.

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C'est le 'au moins' qui changerait quelque chose?

L'information "au moins une des deux cartes tirées est noire", signifie qu'il y en a au moins une sur les deux qui est noire. Autrement dit : il peut y avoir une noire et une rouge (indépendamment de l'ordre) ou deux noires, mais pas deux rouges.

Que faut-il en comprendre?

C'est à toi de comprendre ce qu'il faut en comprendre.

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Pour simplifier légèrement, je propose cette variante :


On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer contenant un nombre infini de cartes rouges et noires en quantités égales. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?

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[ronronladouceur]

L'information "au moins une des deux cartes tirées est noire", signifie qu'il y en a au moins une sur les deux qui est noire. Autrement dit : il peut y avoir une noire et une rouge (indépendamment de l'ordre) ou deux noires, mais pas deux rouges.

Il y a une noire...

Pour simplifier légèrement, je propose cette variante :

On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer contenant un nombre infini de cartes rouges et noires en quantités égales. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?.

Ça ne change rien au problème...

C'est tout de même bizarre que l'expression ''au moins'' brouille ainsi les cartes ...

Entre nous, je préférais le paradoxe de Russell...