Une devinette instructive.

[J'm'interroge]

L'information "au moins une des deux cartes tirées est noire", signifie qu'il y en a au moins une sur les deux qui est noire. Autrement dit : il peut y avoir une noire et une rouge (indépendamment de l'ordre) ou deux noires, mais pas deux rouges.

Il y a une noire...

Ce n'est pas tout à fait aussi clair, "il y a une noire" peut laisser entendre qu'il n'y en a qu'une.

Pour simplifier légèrement, je propose cette variante :

On tire au hasard deux cartes d'un paquet de cartes à jouer contenant un nombre infini de cartes rouges et noires en quantités égales. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?.

Ça ne change rien au problème...

Si si. Ça le simplifie.

C'est tout de même bizarre que l'expression ''au moins'' brouille ainsi les cartes ...

Non, elle donne une indication. Elle apporte une ambiguïté, mais c'est volontaire. C'est d'ailleurs en cette ambiguïté que réside tout l'intérêt du problème.

Entre nous, je préférais le paradoxe de Russell...

Comment peux-tu le savoir lol ? Tu n'y as rien compris.
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[ronronladouceur]

Ce n'est pas tout à fait aussi clair, "il y a une noire" peut laisser entendre qu'il n'y en a qu'une.

Sauf que le contexte du problème parle de deux cartes...

Non, elle donne une indication. Elle apporte une ambiguïté, mais c'est volontaire. C'est d'ailleurs en cette ambiguïté que réside tout l'intérêt du problème.

Inutile, à mon avis... Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué...

Mais chacun joue à ses jeux...

Comment peux-tu le savoir lol ? Tu n'y as rien compris..

Une compréhension qui m'a permis de l'inclure tout en le dépassant...

[J'm'interroge]

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Bon, je vais reformuler le problème une dernière fois, de la manière la plus générale et précise possible, tout en étant le moins explicite possible, de façon à ne pas vous mâchez le travail :



On tire au hasard deux cartes d'un paquet de 2𝑛 cartes contenant 𝑛 cartes rouges et 𝑛 cartes noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire, cette information ayant été obtenue sans qu'une carte ou une couleur particulière n'ait été favorisée. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?


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[ronronladouceur]

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Bon, je vais reformuler le problème une dernière fois, de la manière la plus générale et précise possible, tout en étant le moins explicite possible, de façon à ne pas vous mâchez le travail :

On tire au hasard deux cartes d'un paquet de 2𝑛 cartes contenant 𝑛 cartes rouges et 𝑛 cartes noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire, cette information ayant été obtenue sans qu'une carte ou une couleur particulière n'ait été favorisée. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?.

Merci de votre effort, mais j'en suis simplement à comprendre que c'est le ''au moins'' qui cause problème et pas autre chose. Je n'étais pas au courant que la condition 'au moins' pouvait changer quelque chose à la façon de le considérer...

[J'm'interroge]

Merci de votre effort, mais j'en suis simplement à comprendre que c'est le ''au moins'' qui cause problème et pas autre chose. Je n'étais pas au courant que la condition 'au moins' pouvait changer quelque chose à la façon de le considérer...

Je te l'ai expliqué plus haut :

L'information "au moins une des deux cartes tirées est noire", signifie qu'il y en a au moins une sur les deux qui est noire. Autrement dit : il peut y avoir une noire et une rouge (indépendamment de l'ordre) ou deux noires, mais pas deux rouges.

[J'm'interroge]

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Solution :

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Essayez encore de trouver par vous-mêmes.

Essayez encore de trouver par vous-mêmes.

Solution :


Rappel du problème :


On tire au hasard deux cartes d'un paquet de 2𝑛 cartes contenant 𝑛 cartes rouges et 𝑛 cartes noires. On apprend ensuite qu'au moins une des deux cartes tirées est noire, cette information ayant été obtenue sans qu'une carte ou une couleur particulière n'ait été favorisée. Quelle est la probabilité que l'autre carte soit également noire ?


Considérations :


Pour un jeu de 2𝑛 cartes (𝑛 rouges et 𝑛 noires) bien mélangées, si l'on tire deux cartes au hasard sans remise :


Formules générales :


𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅) = 𝑛 / (2𝑛 − 1)

𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) = (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)

𝑃 (𝑅𝑅) = 𝑃 (𝑁𝑁) = (𝑛 − 1) / (2 (2𝑛 − 1))


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Pour un jeu de 2𝑛 cartes (𝑛 rouges et 𝑛 noires) bien mélangées, si l'on tire deux cartes au hasard sans remise :


Formules générales :


Probabilité de tirer une carte rouge et une carte noire (dans n'importe quel ordre) (𝑅𝑁 ou RN) :

𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅) = 𝑛 / (2𝑛 − 1)
𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅) = 1 − 𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) = 1 − ((𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1))


Probabilité de tirer deux cartes rouges (𝑅𝑅) ou deux cartes noires (𝑁𝑁) :

𝑃 (𝑅𝑅) = 𝑃 (𝑁𝑁) = (𝑛 − 1) / (2 (2𝑛 − 1))
𝑃 (𝑅𝑅) = 𝑃 (𝑁𝑁) = 𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) / 2 = ((𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)) / 2
𝑃 (𝑅𝑅) = 𝑃 (𝑁𝑁) = (1 − 𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅)) / 2 = (1 − (𝑛 / (2𝑛 − 1)) / 2


Probabilité de tirer 2 cartes de même couleur (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) :

𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) = 𝑃 (𝑅𝑅) × 2 = 𝑃 (𝑁𝑁) × 2 = (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)
𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) = 1 − 𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅) = 1 − (𝑛 / (2𝑛 − 1))


𝑃 (𝑅𝑁 ou 𝑁𝑅) + 𝑃 (𝑅𝑅 ou 𝑁𝑁) = 1, par conséquent :

𝑛 / (2𝑛 − 1) + (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1) = 1
(𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1) = 1 − 𝑛 / (2𝑛 − 1)
𝑛 / (2𝑛 − 1) = 1 − (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)

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______________


Probabilités conditionnelles :


1. Méthode 1 :

On demande à quelqu'un de regarder les deux cartes et d'annoncer une couleur : noire ou rouge si il la voit.
Si la couleur annoncé est noire, cela signifie que "au moins une des deux cartes est noire".
La probabilité conditionnelle que l'autre carte soit également noire est :

𝑃₁ = (𝑛 − 1) / (3𝑛 − 1)


2. Méthode 2 :

On choisit l'une des deux carte au hasard, on la regarde et annonce sa couleur (noire ou rouge).
Si cette carte est noire, cela signifie bien que "au moins une des deux cartes est noire".
La probabilité conditionnelle que l'autre carte soit également noire est :

𝑃₂ = (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)


Formule générale pour 𝑃 :

La probabilité mixte 𝑃ₘ est une combinaison pondérée de 𝑃₁ et 𝑃₂, où 𝑝 est la probabilité que la méthode 1 soit utilisée. Ainsi :

𝑃 = 𝑝 × 𝑃₁ + (1 − 𝑝) × 𝑃₂

En substituant 𝑃₁ et 𝑃₂, on obtient :

𝑃 = 𝑝 × (𝑛 − 1) / (3𝑛 − 1) + (1 − 𝑝) × (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)


Simplification de la formule :

𝑃 = (𝑛 − 1) (𝑝 / (3𝑛 − 1) + (1 − 𝑝) / (2𝑛 − 1))

​
Formule générale finale :

La probabilité mixte :

𝑃 = (𝑛 − 1) (𝑝 / (3𝑛 − 1) + (1 − 𝑝) / (2𝑛 − 1))


Cas particuliers :

- 1) Si 𝑝 = 1/2 :

On retrouve la formule utilisée précédemment :

𝑃 = ((𝑛 − 1) / 2) (1 / (3𝑛 − 1) + 1 / (2𝑛 − 1))


- 2) Si 𝑝 = 1 (uniquement la méthode 1) :

𝑃 = (𝑛 − 1) / (3𝑛 − 1)


- 2) Si 𝑝 = 0 (uniquement la méthode 2) :

𝑃 = (𝑛 − 1) / (2𝑛 − 1)


Utilité de la formule générale :

Cette formule permet de calculer 𝑃 pour n'importe quelle valeur de 𝑛 et de 𝑝, sans avoir à refaire les calculs à chaque fois. Elle est particulièrement utile si la probabilité 𝑝 que la méthode 1 soit utilisée n'est pas connue ou si elle varie.


Solution au problème :

Ne sachant pas quelle méthode a été utilisée, nous supposons que les deux méthodes sont également probables, c'est-à-dire 𝑝 = 1 - 𝑝 = 1/2.


𝑃 = ((𝑛 − 1) / 2) (1 / (3𝑛 − 1) + 1 / (2𝑛 − 1))


Soit, pour un jeux complet de 52 cartes à jouer :

𝑃 = ((26 − 1) / 2) (1 / (3×26 − 1) + 1 / (2 × 26 − 1))

𝑃 = 1600 / 3927


𝑃 ≈ 0,4074

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